Restterme der Mehrperioden-Attribution

Modul "Portfolio-Service Erweiterte Portfolio-Analyse"

Bei der Performance-Attribution (B) treten zwei verschiedene Sorten Restterme auf: Zeitliche Reste, die durch die geometrische Verknüpfung mehrerer Perioden entstehen und Interaktionsterme bei Berechnung in Bezug auf eine Benchmark (manchmal "Kreuzprodukt" oder einfach "Rest" genannt).

Zeitliche Reste (Zeitresiduen, zeitliche Kopplungsterme)

Diese treten zwangsläufig auf, wenn eine Attribution mit mehr als nur einem Segment über mehrere Perioden durchgeführt wird. Dabei ist es unerheblich, ob die Segmente "echte" Portfoliosegmente wie "Aktien", "Renten" oder "Festgeld" sind oder hypothetische Segmente wie "Allokationsbeitrag", "Selektionsbeitrag" oder "Restbeitrag".

Betrachten wir ein Beispiel mit zwei Perioden und zwei Segmenten. Wir zerlegen die Performance des Portfolios in der ersten Periode als

P₁= α₁A₁+ β₁B₁

wobei A₁ die Performance des ersten Segments ist und α₁ das Gewicht des ersten Segments zu Beginn der Periode und B₁ die Performance des zweiten Segments sowie β₁ das Gewicht des zweiten Segments zu Beginn der ersten Periode. Ebenso schreiben wir mit analogen Bezeichnungen für die zweite Periode

P₂= α₂A₂+ β₂B₂

Als Performance des Portfolios über beide Perioden erhalten wir

Der A-Anteil ist also gerade die Summe der Terme, die nur zu A gehörige Beiträge enthalten (A₁, A₂,α₁,α₂). Ebenso ist der B-Anteil die Summe der Terme, die nur zu B gehörige Größen enthalten.

Es fällt auf, dass der A- (B-)Anteil gerade die geometrische Verknüpfung der Performancebeiträge des Segments A (B) über die beiden Perioden ist.

Der Zeitliche Rest besteht nun aus den Termen, die weder eindeutig zu A noch zu B gehören. Es ist also die Summe der Performancebeiträge über mehreren Perioden nur dann gleich der Gesamtperformance, wenn der Zeitliche Rest 0 ist (was praktisch fast nie vorkommt).

Der zeitliche Rest wird in der Auswertung Performance-Attribution mit Benchmark als "Zeitresiduum" ausgewiesen. Dabei ist "Zeitresiduum (Beiträge)" das Residuum, das man erhält, wenn man in die obige Rechnung als Segmente "Allokation", "Selektion" und "Rest" einträgt. Die Größe "Zeitresiduum (Überschuss)" ergib sich, wenn man in obiger Rechnung für A die Performance des Portfoliosegments setzt, für α das Gewicht des Portfoliosegments, für β das Gewicht des entsprechenden Benchmarksegments und für B die Performance des entsprechenden Benchmarksegments. Dann ist die Überschussperformance einer Periode ΔP₁= α₁A- β₁B und wir erhalten den zeitlichen Rest der Überschussperformance genau wie oben (aber natürlich mit negativem Vorzeichen).

Beispiel

Betrachten wir ein Portfolio bestehend aus einem Aktiendepot und einem Tagesgeldkonto. Gegeben seien folgende Transaktionen:

Für das Depot ergibt sich in der ersten Periode vom 1.2.08 (nach Ankauf) zum 1.8.08 (vor Verkauf) eine Performance von 400/440-1 = -9,09%. Die Performance des Kontosegments in der ersten Periode ist 578/560-1=3,21%.-1=3,21%.

In der zweiten Periode vom 1.8.08 (nach Verkauf) bis zum 31.12.08 ergibt sich eine Depot-Performance von 140/200-1=-30% und eine Kontoperformance von 794/778-1=2,06%.

Es ergibt sich ein Performancebeitrag des Depots für die erste Periode von P_D1= 44%*(-9,09%)=-4% und in der zweiten Periode von P_D2= 20%*(-30%)=-6%.

Analog ergibt sich für das Konto ein Performancebeitrag von P_K1= 56%*3,21%=1,8% in der ersten und P_K2= 80%*2,06%=1,65% in der zweiten Periode.

Rechnen wir jetzt die Performancebeiträge für Konto und Depot über beide Perioden zusammen, erhalten wir mittels geometrischer Verknüpfung

P_K= (1+P_K1 )(1+P_K2 )-1 = 1,018 * 1,0165 -1 = 3,48%

und

P_D= (1+P_D1 )(1+P_D2 )-1 =0,96*0,94-1= -9,8%

Rechnen wir jetzt die Performance des gesamten Portfolios aus, so erhalten wir

P_P= (1+P_K1+ P_D1 )(1+P_K2+P_D2 )-1=(1+0,018-0,04)*(1+0,0165-0,06)-1=-6,45%

Das heißt, der zeitliche Rest beträgt in diesem Fall P_P-P_K-P_D=-0,13%.